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在数学中，有很多不符合直觉，但却经常出现的东西，比如说虚数。因为不符合直觉，所以有些对数学不太了解的人，就会有这样的疑问：这些数学对象真的存在吗？ 这其实牵涉到了一个相当深刻的数学哲学问题：数学对象到底是什么？ 这个问题自然见仁见智，但我可以讲一下我自己的观点，相信也跟相当一部分数学家的观点一致。 一言以蔽之：两者都是，取决于你的视角。 举一个例子，一幅油画，它里面画的东西是真实存在的，还是画家创造出来的？ 你大概会说，这当然是画家创造出来的，毕竟画里边画什么都可以，写实的风景可以，印象派的也可以，荒诞不经的也可以，甚至完全抽象的东西也可以。画里边的东西，在现实世界不一定存在，它们除了是画家创造出来，还能是什么呢？ 但从另一个方向来说的话，画里边的东西，作为画的一部分，似乎也是真实存在的。比如梵高《星夜》中的星空，在现实中当然不存在，但你要是跟别人提起《星夜》这幅画，大家都会想起其中星空的模样。所以，要说《星夜》中的星空并非实在，好像也说不过去。另外，《星夜》中的星空虽然是虚构，但至少也是从现实的基础上升华而来，刻画了现实星空的某些方面。在这种意义上，《星夜》中的星空更加有了一点实在的味道。 
（图片来自维基百科） 数学也是如此。 与大部分人类活动的结晶一样，数学也是人构建的。许多数学理论，尤其是最前沿最抽象的那些，都很难说是直接描绘了现实中的什么东西。克罗内克说过：“上帝创造了自然数，其余一切都是人类的造物。”这就将这个方向的观点推到了极致。我们甚至可以说，连自然数也只是人类为了方便的创造出来的概念。三个苹果是存在的，三道门也可以存在，但“三”这个概念，脱离了实际的物质，是否还是真实存在呢？这就是一个很大的疑问。 但数学概念，作为人类活动的结晶，无疑是存在的，只不过不是什么看得见摸得着的东西，而是作为一种思想而存在。还是拿“三”这个概念做例子，应该没什么人会否认这个概念的存在，因为我们天天都在用这个概念。但即使作为一种思想，数学概念也有现实的部分，因为很多数学来源于生活。是因为有了三个苹果，有了三道门，所有这些真实存在的事物，才让我们提出了“三”这个概念。“三”，实际上刻画了现实的一个侧面，所以它是现实的一种抽象和延伸。 一切数学概念，都可以用这种眼光去看待。即使有一些数学概念看起来非常复杂抽象，但定义它的人必定有他的需要，而这种概念必定具有某种逻辑必然性，所以才会让别人想到要定义它。 现在重新举复数的例子。课本上定义虚数i就是满足i*i=-1的数，然后以此为依据构建出复数。你也许会觉得，这好像没有逻辑，不是在乱来么？这是因为课本只能讲大部分人能理解的内容。实际上，复数有其逻辑必然性，它是我们想要解方程的结果。实系数方程在实数内不一定有解，但我们可以证明，所有实系数方程在复数内必定有解。也就是说，复数是实数的一种延伸，使得我们可以在上面解任意的方程。我们可以证明，复数是所有这些延伸之中最简单的一种，这就是复数的逻辑必然性，用数学的术语来说，就是复数域是实数域的代数闭包。所以，定义复数是有理由的。另外的理由，就是复数的确在现实中出现了。电磁学中，利用复数能更好地描述电磁波的传播，而在量子力学中，波函数甚至只能利用复数来描述。所以，复数的确也描述了现实的某些侧面。 是的，复数是人类提出的概念，但难道它作为一个概念就并非真实存在，难道它之中就没有一点现实的成分吗？我想未必。 一切数学概念也是如此。它们是人创造的，但也描绘了现实的某些方面，具有逻辑上的必然性，而作为概念，它们必然真实存在。
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发表于 2018-1-19 14:10:35